汗かくな？無茶言わんでください。
日常会話でも使うことがあるようですが、知ったのは洗剤のCMです。
誰かが何か落ちにくいものをシャツにこぼすわけです。夜中の通販番組よろしく「あーあ、やっちゃったよ。こういうシミって落ちにくいんだよねー。」「そうそう」みたいなね。で、そこで男性登場。 "Don't sweat it!"ってかまして、洗剤の紹介。「まるで新品みたいだ！」となるわけです。
この"Don't sweat it!"ってのは、だから「心配ご無用！」といったところでしょうか。ま、やっぱり心配したり、どうしようと困ったりすると冷や汗をかきますが、そこからきているようです。そこで、「汗かくな」→「心配するな」となるわけですね。